На пути к теории всего

На пути к теории всего
Что такое действие и почему физики все время о нем говорят

Как современные физики-теоретики разрабатывают новые теории, описывающие мир? Что такого они добавляют к квантовой механике и общей теории относительности, чтобы построить «теорию всего»? О каких ограничениях идет речь в статьях, говорящих про отсутствие «новой физики»? На все эти вопросы можно ответить, если разобраться, что такое действие — объект, лежащий в основе всех существующих физических теорий. В этой статье я расскажу, что физики понимают под действием, а также покажу, как с его помощью можно построить настоящую физическую теорию, используя всего несколько простых предположений о свойствах рассматриваемой системы.

Сразу предупреждаю: в статье будут формулы и даже несложные вычисления. Впрочем, их вполне можно пропускать без большого вреда для понимания. Вообще говоря, я привожу здесь формулы только для тех заинтересованных читателей, которые непременно хотят разобраться во всем самостоятельно.

Уравнения
Физика описывает наш мир с помощью уравнений, связывающих вместе различные физические величины — скорость, силу, напряженность магнитного поля и так далее. Практически все такие уравнения являются дифференциальными, то есть содержат не только функции, зависящие от величин, но и их производные. Например, одно из самых простых уравнений, описывающее движение точечного тела, содержит вторую производную от его координаты:

Здесь я обозначил вторую производную по времени двумя точками (соответственно, одной точкой будет обозначаться первая производная). Конечно же, это второй закон Ньютона, открытый им в конце XVII века. Ньютон одним из первых осознал необходимость записывать уравнения движения в такой форме, а также разработал дифференциальное и интегральное исчисление, необходимое для их решения. Разумеется, большинство физических законов гораздо сложнее, чем второй закон Ньютона. Например, система уравнений гидродинамики настолько сложна, что ученые до сих пор не знают, разрешима она в общем случае или нет. Проблема существования и гладкости решений этой системы даже входит в список «проблем тысячелетия», и математический институт Клэя назначил за ее решение приз в один миллион долларов.
Однако как же физики находят эти дифференциальные уравнения? В течение долгого времени единственным источником новых теорий был эксперимент. Другими словами, первым делом ученый проводил измерения нескольких физических величин, и только потом пытался определить, как они связаны. Например, именно таким образом Кеплер открыл три знаменитых закона небесной механики, которые впоследствии привели Ньютона к его классической теории тяготения. Получалось, что эксперимент как будто «бежит впереди теории».

В современной же физике дела устроены немного по-другому. Конечно, эксперимент до сих пор играет в физике очень важную роль. Без экспериментального подтверждения любая теория является всего лишь математической моделью — игрушкой для ума, не имеющей отношения к реальному миру. Однако сейчас физики получают уравнения, описывающие наш мир, не эмпирическим обобщением экспериментальных фактов, а выводят их «из первых принципов», то есть на основании простых предположений о свойствах описываемой системы (например, пространства-времени или электромагнитного поля). В конечном счете, из эксперимента определяются только параметры теории — произвольные коэффициенты, которые входят в выведенное теоретиком уравнение. При этом ключевую роль в теоретической физике играет принцип наименьшего действия, впервые сформулированный Пьером Мопертюи в середине XVIII века и окончательно обобщенный Уильямом Гамильтоном в начале XIX века.

Действие
Что же такое действие? В самой общей формулировке действие — это функционал, который ставит в соответствие траектории движения системы (то есть функции от координат и времени) некоторое число. А принцип наименьшего действия утверждает, что на истинной траектории действие будет минимально. Чтобы разобраться в значении этих умных слов, рассмотрим следующий наглядный пример, взятый из Фейнмановских лекций по физике.

Допустим, мы хотим узнать, по какой траектории будет двигаться тело, помещенное в поле тяжести. Для простоты будем считать, что движение полностью описывается высотой x(t), то есть тело движется вдоль вертикальной прямой. Предположим, что мы знаем о движении только то, что тело стартует в точке x1 в момент времени t1 и приходит в точку x2 в момент t2, а полное время в пути составляет T = t2 − t1. Рассмотрим функцию L, равную разности кинетической энергии К и потенциальной энергии П: L = К − П. Будем считать, что потенциальная энергия зависит только от координаты частицы x(t), а кинетическая — только от ее скорости ẋ(t). Также определим действие — функционал S, равный среднему значению L за все время движения: S = ∫ L(x, ẋ, t) dt.

Очевидно, что значение S будет существенно зависеть от формы траектории x(t) — собственно, поэтому мы называем его функционалом, а не функцией. Если тело слишком высоко поднимется (траектория 2), вырастет средняя потенциальная энергия, а если оно станет слишком часто петлять (траектория 3), увеличится кинетическая — мы ведь предположили, что полное время движения в точности равно T, а значит, телу нужно увеличить скорость, чтобы успеть пройти все повороты. В действительности функционал S достигает минимума на некоторой оптимальной траектории, которая является участком параболы, проходящей через точки x1 и x2 (траектория 1). По счастливому стечению обстоятельств, эта траектория совпадает с траекторией, предсказанной вторым закон Ньютона.


Примеры траекторий, соединяющих точки x1 и x2. Серым отмечена траектория, полученная вариацией истинной траектории. Вертикальное направление отвечает оси x, горизонтальное — оси t

Случайно ли это совпадение? Разумеется, не случайно. Чтобы показать это, предположим, что мы знаем истинную траекторию, и рассмотрим ее вариации. Вариация δx(t) — это такая добавка к траектории x(t), которая изменяет ее форму, но оставляет начальную и конечную точки на своих местах (смотри рисунок). Посмотрим, какое значение принимает действие на траекториях, отличающихся от истинной траектории на бесконечно малую вариацию. Раскладывая функцию L и вычисляя интеграл по частям, мы получаем, что изменение S пропорционально вариации δx:

Здесь нам пригодился тот факт, что вариация в точках x1 и x2 равна нулю — это позволило отбросить члены, которые появляются после интегрирования по частям. Получившееся выражение очень напоминает формулу для производной, записанную через дифференциалы. Действительно, выражение δS/δx иногда называют вариационной производной. Продолжая эту аналогию, мы заключаем, что при добавлении малой добавки δx к истинной траектории действие измениться не должно, то есть δS = 0. Поскольку добавка может быть практически произвольной (мы зафиксировали только ее концы), это означает, что подынтегральное выражение тоже обращается в ноль. Таким образом, зная действие, можно получить дифференциальное уравнение, описывающее движение системы, — уравнение Эйлера-Лагранжа.
Вернемся к нашей задаче с телом, перемещающимся в поле силы тяжести. Напомню, что мы определили функцию L как разность кинетической и потенциальной энергии тела. Подставляя это выражение в уравнение Эйлера-Лагранжа, мы действительно получаем второй закон Ньютона. В самом деле, наша догадка о виде функции L оказалась очень удачной:

Получается, что с помощью действия можно записывать уравнения движения в очень краткой форме, как будто «упаковывая» все особенности системы внутри функции L. Уже само по себе это достаточно интересно. Однако действие является не просто математической абстракцией, оно обладает глубоким физическим смыслом. В общем-то, современный физик-теоретик первым делом выписывает действие, а только потом выводит уравнения движения и исследует их. Во многих случаях действие для системы можно построить, делая только простейшие предположения о ее свойствах. Посмотрим, как это можно сделать, на нескольких примерах.

Источник https://nplus1.ru/material/2018/02/02/just-looking-for-some-action